P4

(a)

(b)

利用 $q_j$ 的标准正交性, 两边同乘 $q_1^T$

(c)

同 (b) 两边同乘 $q_1^T$

Since $A^{-1}q_j=\frac{1}{\lambda_j}q_j$, 注意题干里是给了 $\lambda_j$ 作为已知的

P6

Let \(A=I-cE=\begin{bmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \\ \end{bmatrix}-c\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

(a) 找到 $c$ 使得 $A$ 为 projection matrix

$A$ 为 projection matrix $\iff A^2=A$ 像这样的在证明复合矩阵运算时, 不妨就拆开来算, 即证 $(I-cE)^2=I-cE$, 这要比直接证明 $A^2=A$ 要简便的多

(b) 找到 $c$ 使得 $A$ 为 orthogonal matrix

Orthogonal matrix 的定义是 $A^T=A^{-1}$ or $A^TA=I$, 也就是说, orhogonal matrix 是由 orthonormal vectors 构成的, 而不是 orthogonal vectors

(c) 找到 $c$ 使得 $A$ 为 diagonalizable matrix

Since $A=A^T$, $A$ is always diagonalizable

(d) Find eigenvalues of $A^{-1}$ in terms of $c$

To find $\lambda$, we need to find the eigenvalues of $I, E$. For $I$, $\lambda_I=[1,1,1]$; For $E$ \(\begin{cases} &\text{rank}(E)=1,E\text{ is symmetric}\to E\text{ has one non-zero eigenvalue} \\ &\text{tr}(E)=\sum e_{ii}=\sum \lambda_i=3\to\lambda_E=[3,0,0] \end{cases}\)

Therefore, \(\lambda=\lambda_I-c\lambda_E=[1-3c,1,0]\)

(e) 找到 $c$ 使得 $A$ 为 positive definite matrix

由 (d) 可知, 只需使得 $1-3c>0$ 即可满足正定