P1

对于 $Ax=b$ 的解的可能性 ($A_{m\times n},b_{m\times 1}$)

首先，所有的解都能表示成 $x=x_p+x_n$

• 无解 $x_p$ 不存在 $C(A)$ 的维度低于消元后的 $b$. 例如 \(A=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix},b=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}\)
• 唯一解： $x=x_p+0\to N(A)={0}\to r=n$
• 无数解： $x_n$ 存在 $\to \text{dim}(N(A))=n-r \geq 1$

P2

1. 在求解 $x_p,x_n$ 时等号右边的东西是不一样的，别搞混了： \(Rx=d,Rx=0\)
2. 求解 $x_p$, all free column = 0; 求解 $x_n$, one free column = 1, other = 0

P3

从 $R$ 中提炼原矩阵 $A$ 的列的信息 例如

\(R=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\) 逐列分析

1. 主元列：矩阵 $A$ 的 column 1, 4, 5 为 pivots column, 同样也是 $C(A)$ 的 basis ($C(A)=\R^3$)
2. 零元素列：矩阵 $A$ 的 column 3 为零向量
3. 列列关系：矩阵 $A$ 的 (column 2) = 4(column 1)

D4

D4.5 略

D5

D5.1 见 Chapter-10

D5.4 见 Week-07

Prjection matrix $P$ The projection $p$ of vector $b$ onto $S=C(A)$ is \(p=Pb,\text{where }P=A(A^TA)^{-1}A^T\)

D6

D6.1, D6.2 Week-08 L13.3 中列举的行列式的部分性质，可以在求矩阵行列式时提供一定的帮助，例如

再例如 其中红框等式之所以成立，是因为从左至右相当于做了两次行交换，从 $[1;2;3]\to[3;1;2]$

D7

D7.2 Using matrix exponents, find solution $x(t)$ of equation \(\frac{dx}{dt}=Ax,\;x(0)=a\) for \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\;a=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix},\;t=1/2\)

Method 1: 用正常的 ODE 来做

1. 求特征根和特征向量： \(\lambda_1=1,\lambda_2=2,x_1=\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix},x_2=\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}\)
2. 求系数 $c_i$ \(\begin{aligned} x(t)&=c_1e^{\lambda_1t}x_1+c_2e^{\lambda_2t}x_2=c_1e^t\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}+c_2e^{2t}\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \\ x(0)&=\begin{pmatrix} c_1+c_2\\ -c_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\to \begin{cases} c_1 = -1 \\ c_2 = 1 \end{cases}\end{aligned}\)
3. 最后代入 $t=1/2$ \(x(\frac{1}{2})=-\begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}e^{1/2}+\begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}e=\begin{pmatrix} -e^{1/2}+e\\ e^{1/2} \end{pmatrix}\)

Method 2: 用 $e^{At}=Xe^{\Lambda t}X^{-1}$

1. 同 Method 1，求出特征根和特征向量后可得 \(X=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\Lambda=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)

2. 由题目中的条件 $\frac{dx}{dt}=Ax,x(0)=a$ 可得 \(x(t)=e^{At}x(0)=X\begin{pmatrix} e^t & 0\\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}X^{-1}\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}\)

D7.4, D7.5 Jordan Form, 略

HW5

HW5.4 见 Week-05 的最后两个例子

HW6

HW6.6

红框内等式成立是由于 $P_2$ 所映射的空间包含了 $P_1$ 所映射的空间，因此如果换位置则不一定成立 $P_1P_2\neq P_2$。当然这道题老老实实分别算出 $P_1,P_2$ 再乘起来也完全 OK 如果 $A$ 的形式比较简单，可以直接用 $\hat{x}=(A^TA)^{-1}A^Tb$

HW6.7, HW6.8 略

HW7

HW7.2 同 D6.1, 略

HW8

HW8.7 略